贡献者： addis
预备知识 1 几何矢量
图 1：位矢与位移
1. 位矢
1位置矢量（position vector）简称位矢，是从坐标原点 $O$ 指向某一点 $P$ 的矢量，可记为 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} $ 或 $\overrightarrow{OP}$。位矢常用于表示坐标系中一点的位置。
有时候可将位矢 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} $ 作为自变量以表示一个关于位置的函数。例如一个物体内密度关于位置的分布可以表示为 $\rho( \boldsymbol{\mathbf{r}} )$。在直角坐标系中，就相当于 $\rho(x,y,z)$，在球坐标系中就相当于 $\rho(r,\theta,\phi)$。这么做的好处是书写简洁，而且不需要指定坐标系的种类。
2. 位移
在物体运动过程中，可以把物体的坐标（以位矢表示）看做时间的矢量函数 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} = \boldsymbol{\mathbf{r}} (t)$，则位移 $\Delta \boldsymbol{\mathbf{r}} $ 是一段时间 $[t_1,t_2]$ 内物体初末位矢的矢量差
\begin{equation}
\Delta \boldsymbol{\mathbf{r}} = \boldsymbol{\mathbf{r}} (t_2) - \boldsymbol{\mathbf{r}} (t_1)~.
\end{equation}
注意位移只与一段时间内物体的初末位置有关，与路径无关。由位移的概念可以进一步定义速度和加速度。
预备知识 2 全微分，矢量的微分，矢量内积
例 1 证明 $ \,\mathrm{d}{r} = \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} \boldsymbol\cdot \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{r}} } $
这个证明的几何意义是，位矢模长的微小变化等于位矢的微小变化在位矢方向的投影。
这里以平面直角坐标系中的位矢为例证明。令位矢 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} $ 的坐标为 $(x, y)$，模长为 $r = \sqrt{x^2 + y^2}$，
模长的全微分为
\begin{equation}
\,\mathrm{d}{r} = \frac{\partial r}{\partial x} \,\mathrm{d}{x} + \frac{\partial r}{\partial y} \,\mathrm{d}{y} = \frac{x}{\sqrt{x^2 + y^2}} \,\mathrm{d}{x} + \frac{y}{\sqrt{x^2 + y^2}} \,\mathrm{d}{y} ~.
\end{equation}
考虑到 $x/\sqrt{x^2 + y^2}$ 和 $y/\sqrt{x^2 + y^2}$ 分别为 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} = \boldsymbol{\mathbf{r}} /r$ 的两个分量，$ \,\mathrm{d}{x} $ 和 $ \,\mathrm{d}{y} $ 分别为 $ \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{r}} } $ 的两个分量，根据内积的定义上式变为
\begin{equation}
\,\mathrm{d}{r} = \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} \boldsymbol\cdot \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{r}} } ~.
\end{equation}
1. ^ 参考 Wikipedia 相关页面。